先日、月の満ち欠けを1か月記録する自由研究の話を息子にしたところ、返ってきたのは「1か月は長い」でした。まあ、そうですよね。
そのあと出てきたのが、こんな質問です。「昔の人はどうやって地球の大きさを測ったの？」
いい質問だと思いました。答えは紀元前3世紀のエラトステネス。そして彼が使った道具は、地面に立てた棒と、その影だけです。しかもこの方法、原理を理解すればいまの日本でも、晴れた日の1日で追体験できます。1か月かかる月の観察に対して、こちらは正味1日。夏休みの自由研究としては、なかなか対照的な選択肢です。
井戸の底に、太陽が届く日
エラトステネス（紀元前275年ごろ〜紀元前194年ごろ）は、古代エジプトのアレクサンドリアにあった大図書館の館長を務めた人物です。彼は、こんな言い伝えを知っていました。
南のシエネ（いまのアスワン）では、夏至の日の正午になると、深い井戸の底まで日光が届く。つまりその瞬間、太陽は真上にある。だから地面に棒を立てても、影ができない。
ここでエラトステネスは、決定的なことに気づきます。同じ日の同じ時刻に、自分がいるアレクサンドリアで棒を立てたら、影ができたのです。
もし地球が平らなら、遠く離れた太陽から届く光はどこでも同じ角度で当たるはずで、片方だけ影ができるのはおかしい。影ができたということは、地面が傾いている＝地球は丸い。しかも、その傾きの大きさが分かれば、丸ごと一周の大きさまで逆算できてしまう。
古代の記録を伝えたクレオメデスによれば、アレクサンドリアで測られた角度は約7.2度。これは円ひとまわり360度の、ちょうど50分の1です。そして2つの街のあいだの距離は、歩測の専門家によって5000スタディアと見積もられていました。
あとはかけ算だけ。5000 × 50 ＝ 25万スタディア。これが、エラトステネスの「地球一周の長さ」として伝わっている値です（じつはこの数字自体にも異論があるのですが、それは後半で触れます）。
影が教えてくれるのは「角度」
この方法でいちばん大事なのは、影の長さそのものではなく、影から分かる「角度」だという点です。
地面に垂直な棒を立てると、棒の高さと影の長さで、細長い直角三角形ができます。この三角形の形が、太陽が空のどのくらいの高さにいるかを教えてくれます。真上に近いほど影は短く、低いほど影は長い。
ここで使いたいのは天頂角という角度です。「真上（天頂）から何度ずれているか」を表す角度で、太陽の高度（地平線から測った高さ）とは足して90度になる関係にあります。エラトステネスが測った7.2度も、この天頂角です。
角度の出し方は2通りあります。
ひとつは紙に写して分度器で測る方法。棒の高さと影の長さを、そのままの比率で紙の上に直角三角形として描き、分度器を当てる。小学生にはこちらが断然おすすめです。「影の長さが角度に化ける」瞬間が、手を動かしながら実感できます。
もうひとつは計算です。影の長さ ÷ 棒の高さ を計算して、下の表から読み取ってください（関数電卓なら tan の逆関数、arctan で一発です）。
| 影 ÷ 棒 | 天頂角 z | 太陽の高度 h |
|---|---|---|
| 0.10 | 5.7° | 84.3° |
| 0.15 | 8.5° | 81.5° |
| 0.20 | 11.3° | 78.7° |
| 0.25 | 14.0° | 76.0° |
| 0.30 | 16.7° | 73.3° |
| 0.35 | 19.3° | 70.7° |
| 0.40 | 21.8° | 68.2° |
| 0.50 | 26.6° | 63.4° |
やってみる ── 用意するものと、手順
必要なものは、拍子抜けするほど少ないです。
| もの | ひとこと |
|---|---|
| まっすぐな棒 | 1m くらいの物干し竿や角材。太さより「まっすぐさ」が大事 |
| 平らな地面 | 傾いていると全部狂う。水平をとれる場所を選ぶ |
| メジャー | 棒の高さと影の長さを測る |
| 時計 | スマホでOK |
| 分度器と紙 | 角度を読み取る用 |
手順はこうです。
① その日・その場所の「南中時刻」を調べる。南中とは、太陽がその日いちばん高くなる瞬間のこと。正午ちょうどとは限らず、場所と日付でずれます。国立天文台 暦計算室の「こよみの計算」で、地点と日付を指定すれば南中時刻も南中高度も出せます。
② 棒を垂直に立てる。ここが精度を決めます。おもりを付けた糸（下げ振り）を垂らして、棒と平行になるように調整してください。少しの傾きが、結果を大きくずらします。
③ 南中時刻の前後で、影の長さを何回か測る。10分おきくらいに測って、いちばん短かった影を採用します。「時計を信じて一発で測る」より、「いちばん短い瞬間を捕まえにいく」ほうが確実です。影が短くなって、また伸び始めたら終了。
④ 影 ÷ 棒 を計算して、角度に直す。これがその土地の、その日の天頂角です。
太陽は絶対に直接見ないでください。この実験で見るのは、あくまで地面にできた影だけです。太陽をそのまま見ると、ほんの数秒でも目を痛めます。サングラスや下敷き越しでも危険です。
そして、暑さ対策を。この実験は真夏の正午前後、一日でいちばん暑い時間帯に屋外で行うことになります。日陰に休憩場所を作り、飲み物を用意して、測るとき以外は日なたに立たないこと。10分おきの測定なら、あいだは涼しい場所で待てます。無理をしそうな暑さの日は、素直に別の日に延期してください。
いちばんの壁 ── 2地点が、いる
さて、ここからが正直な話です。この方法は、1か所で測っただけでは地球の大きさが出ません。
必要なのは「2地点の天頂角の差」だからです。1地点の天頂角だけ分かっても、比べる相手がいなければ何分の1周なのかが決まりません。エラトステネスにシエネとアレクサンドリアが必要だったのと同じです。
そこで、夏休みという時期が効いてきます。
案A：帰省や旅行を使う。南北に離れた場所へ行く予定があるなら、出発前に自宅で測り、旅先で同じ測定をもう一度。同じ人が同じ棒で測れるので、条件が揃って精度が出ます。日付が数日ずれてもかまいません（後述の注意はあります）。
案B：離れた友達・祖父母と組む。同じ日に、それぞれの場所で測ってもらう。棒の高さと影の長さの数字だけ送ってもらえば十分です。共同研究になるのは、まとめとしても強い。
案C：もう一方を計算で用意する。相棒が見つからないときは、暦計算室で別の地点の南中高度を計算し、それを2点目として使います。ただしこれは「自分で測ったのは1点だけ」なので、レポートには正直にそう書きましょう。
ひとつ注意があります。2地点で日付をずらして測る場合、そのあいだに太陽の高さ自体が変わってしまいます（夏至を過ぎると、南中高度は毎日少しずつ低くなっていきます）。厳密にやるなら同じ日に測るのがベスト。数日ずれる場合は、暦計算室で「同じ日ならどうだったか」を確認して補正するか、ずれをレポートに書いておくといいと思います。
もうひとつ。2地点が東西に離れていても、それぞれの土地の南中時刻に測れば問題ありません。ただしそのとき必要な距離は直線距離ではなく、南北方向の距離です。東西のずれが大きい2地点を選ぶと、ここでつまずきます。なるべく南北に並んだ2地点を選ぶのが安全です。
計算してみる
2つの天頂角がそろったら、あとは割り算とかけ算だけです。
2地点の天頂角の差が、そのまま地球の中心から見た2地点の角度になります。地球一周は360度。だから――
地球一周 ＝ 2地点の南北距離 × 360 ÷ 天頂角の差
たとえば、南北におよそ820km離れた2地点で測って、天頂角の差が7.4度だったとします（数字は説明のための例です）。
820 × 360 ÷ 7.4 ＝ 約39,900km。
実際の地球の子午線一周は約40,008kmですから、かなりいい線です。棒と影とメジャーだけで、ここまで来られる。
ただし、ここで手放しで喜ぶ前に、ぜひ確かめてほしいことがあります。角度の差を7.4度ではなく7.6度で計算してみてください。
820 × 360 ÷ 7.6 ＝ 約38,800km。
たった0.2度のちがいで、答えが1,000kmも動きました。この実験がなぜ「棒を垂直に立てること」にこだわるのか、これで分かってもらえると思います。地球の大きさは、影の根元の数ミリに乗っているのです。この「小さな誤差が大きく効く」感覚こそ、自由研究として持ち帰る価値のある発見だと思います。
「1度＝111km」を使ってはいけない
ここで、この研究がこっそり失敗する落とし穴の話をします。
2地点の南北距離を調べようとすると、「緯度1度はおよそ111km」という便利な数字にたどり着きます。緯度の差にこれを掛ければ距離が出る。ラクです。
でも、これを使ったら、この研究は成立しません。
なぜなら「1度＝111km」という数字は、地球一周が約40,000kmだと知っているからこそ出てくる数字だからです（40,000 ÷ 360 ≈ 111）。それを使って地球一周を計算すれば、答えが40,000kmになるのは当たり前。自分が入れた答えが、そのまま出てくるだけです。
だから距離は、角度とは無関係な方法で手に入れなければいけません。地図アプリの距離測定機能を使う、道路の距離を足す、鉄道の営業キロを使う――どれも「実際に測った距離」に由来する、独立した情報です。エラトステネスが歩測の専門家に距離を測らせたのも、まさにこれをやっていたわけです。
ちなみに、自分の緯度そのものは、じつは夜にも測れます。北極星の地平線からの高さが、その土地の緯度とほぼ同じになるからです。昼は太陽の影で、夜は北極星で――同じ「角度」を2通りの方法で確かめられたら、レポートは一気に厚みを増します。
エラトステネスは、どれくらい当てたのか
ここまで来ると、当然こう聞きたくなります。「で、エラトステネスの25万スタディアは、正解にどれくらい近かったの？」
じつは、これにはっきり答えることができません。1スタディオンが何メートルなのかが、はっきりしないからです。
ウィキペディアがまとめている各説では、1スタディオンの候補は160m（メッセニア）、177m（デルフィ）、180m（汎ヘレニック）、185m（アッティカ）、191m（オリンピック）、210m（プトレマイオス）と、かなりの幅があります。日本語版ウィキペディアは185m説を最有力としており、25万スタディアにこれを当てはめると約46,250km、実際よりかなり大きな値になります。
ところが話はもう一段ややこしくて、「25万スタディア」という数字そのものにも異論があります。英語版ウィキペディアは、エラトステネス本人が出した値は約22万4100スタディアで、25万というのは一世代あとのヒッパルコスによる調整値だ、とする研究者（Matthew）の見解を紹介しています。この22万4100スタディアに180mを当てはめると約40,338km ── 実際との差は1%未満に収まります。
| 前提 | 地球一周は | 実際（約40,008km）との差 |
|---|---|---|
| 25万スタディア × 180m | 約 45,000 km | 約 +12% |
| 25万スタディア × 185m | 約 46,250 km | 約 +16% |
| 22万4100スタディア × 180m | 約 40,338 km | 約 +1% |
つまり、「彼がどれだけ正確だったか」は、彼の腕前ではなく、単位の解釈と、そもそも彼が出した数字がいくつだったのかで決まってしまうのです。誤差1%未満と言われることもあれば、16%ずれていると言われることもある。
さらに、測定の前提そのものにもズレがありました。シエネは実際には北回帰線より約1度北にあり、夏至でも太陽は完全な真上には来ません。またアレクサンドリアの真南でもなく、経度で約3度ずれています。英語版ウィキペディアは、この2つの誤りが偶然たがいに打ち消し合ったと説明しています。
それでも、この話の価値はまったく揺らがないと思うのです。宇宙に出ることも、地球を一周することもできなかった時代に、2つの街の影のちがいだけから、足元の惑星の大きさを言い当てた。桁が合っていた、というだけで途方もないことです。
そしてこれは、自由研究をする側にとっても心強い話です。ズレてもいい。ズレた理由を書けたら、それが研究です。
40,000kmが、やけにキリのいい数字な理由
最後に、ひとつ引っかかっていた人がいるかもしれません。地球一周が「約40,000km」って、あまりにキリがよすぎないか？
これは偶然ではありません。順番が逆なのです。
メートルという単位は、もともと「赤道から北極点までの子午線の長さの1000万分の1」として定められました。1791年のことです。赤道から北極までが1000万メートル＝10,000kmなら、その4倍である地球一周は、定義上ぴったり40,000kmになる。地球に合わせてメートルが決められたので、キリがよくて当然でした。
その後の精密な測定で、子午線一周は約40,007.86km、赤道まわりは約40,075.017kmと分かっています（地球はわずかに扁平なので、この2つは一致しません）。当時の測量が、いかに正確だったかということでもあります。
棒を1本立てて、影を測って、割り算をする。それだけで、自分が立っている惑星の大きさが出てくる。1光年の距離のような、想像もつかないスケールの話につながっていく最初の一歩が、庭やベランダの地面にあるというのは、なかなか痛快だと思うのです。
わが家がこの夏それをやるかどうかは、まだ分かりません。棒を垂直に立てるところで、たぶん親子で一悶着あるでしょう。でも「昔の人はどうやって地球の大きさを測ったの？」という質問への答えとしては、言葉で説明するより、影を測ってみせるほうがずっといい。そう思っています。
